人工衛星の原理を解説するに当たり、次の質問を考えてみます。
１．ジェット機で人工衛星を宇宙まで運ぶことは出来ないか？
２．ロケットは燃料が続く限り地球から遠くに行けるるのか？
１．の回答は簡単です。
ジェット機は石油系の燃料を空気中の酸素で燃やして飛びます。
高度が上がると空気が希薄になり、ある高度以上では酸素不足になって飛行不能になります。旅客機では13,000m程度が限界高度、最高記録はノースアメリカンX-15・3号機が記録した107,960kmです。
従って、大気圏と宇宙空間の境界付近までは行けますが、後述する第１宇宙速度7.9km/sを確保できませんので人工衛星を軌道に乗せることは出来ません。
２．の回答が、そのまま人工衛星の原理の解説となります。
ロケットを地上面に対して垂直に真上に向けて打ち上げます。
地上の観測者には真上に上昇しているように見えます。しかし、地球以外の天体、例えば月からはロケットは地球の自転方向に斜めに上昇しているように見えるはずです。ロケットも観測者も地球の自転によって慣性運動をしているからです。
例えば、時速200km(秒速55m)の新幹線内の乗客は新幹線の車体とともに慣性運動をしております。もし、乗客が慣性運動をしていなかったら、車内で天井に向けてジャンプした乗客は、着地までに1秒間要したとすれば、55m後方に着地することになり、ドアに激突して即死状態になるはずです。このようなわけで、ロケットの速度が第１宇宙速度7.9km/s(=28,440km/s:新幹線の約10倍の速度)未満の場合、ロケットは地上面に斜めに上昇を続けやがて地上面と平行して飛行するようになります。
この後ロケットは、地上に落下するか、そのまま地上面と平行して飛行を続け人工衛星となって地球を周回するか、地上面の接線方向に地球から離脱して宇宙にいくか、の三つの運命に分かれます。
この運命を支配するのは万有引力の法則、運命を決めるのはロケットの速度です。この関係を図示したのがこの頁の冒頭の画面です。
ここで、ケットの重量をm 速度をv 地球の重量をM 万有引力定数をG 地球の中心とロケットの間の距離をRとすれば、ロケットには次の力が働いております。
・万有引力Ａ ＝ mMG/R2
・遠 心力 Ｂ ＝ mv2/R
この式を使って、上述の三つのケースを表すと次のようになります。
(1)万有引力>遠心力 なら地上に落下：
(2)万有引力=遠心力 なら円または楕円軌道で人工衛星に：
(3)万有引力<遠心力 なら楕円軌道で人工衛星または地球離脱：
ここで、運命を決める速度v=V1は、mMG/R2=mv2/R より
V1=√(GM/R)=7.9km/s で求められ、第１宇宙速度と云われます。
万有引力=遠心力が成立して、地球に引っ張られる万有引力と、逆に地球から離れようとする遠心力が釣り合うと、ロケットは地球に対して着かず、離れずの均衡状態を保って地球を周回する人工衛星になります。その均衡を保つ速度が第１宇宙速度ということになります。
この第１宇宙速度にするために、周回軌道の高度まで第１段エンジンで運んだ後、第１段エンジンや保護カバーなどを切り離して身軽にした上で、第２段エンジンを起動してこの第１宇宙速度に制御した後、人工衛星を切り離して軌道に乗せます。第２段エンジンもその後、しばらくは人工衛星と同じ軌道を周回する人工衛星になりますが、昨日の日記で述べたデブリと云われる宇宙ゴミになって、やがて失速して地上に落下していきます。
では(3)のケースで、万有引力<遠心力 つまり第１宇宙速度より速い速度を人工衛星に与えたらどうなるでしょうか。人工衛星は地球から遠ざかりますが、その速度が第２宇宙速度(=V2)と呼ばれる速度より小さい場合は、いったん地球から離れた後に戻り楕円軌道を描いて地球を周回する人工衛星となります。実際の人工衛星は、早い時期に失速して落下しないように、第１宇宙速度よりやや大きい速度で周回しておりますので、その殆どは楕円軌道を描いております。
地球から無限遠を基準とすると、
人工衛星の位置エネルーギ＝mMG/R
人工衛星の運動エネルギー＝mv2/2
となり次の関係が成立します。
(1)運動エネルギー<位置エネルギーなら楕円軌道を描いて地球周回：
(2)運動エネルギー=位置エネルギーなら放物線軌道で地球引力離脱：
(3)運動エネルギー>位置エネルギーなら人工惑星または太陽系離脱：
mMG/R=mv2/2 より、第２宇宙速度V2は下式で求められます。
V2=√(2GM/R)=√(2V1)=√2×V1=√2×7.9km/s=11.2km/s
つまり、(1)のように、速度が第１宇宙速度(V1)より大きく、第２宇宙速度(V2)より小さい場合(V1＜v＞V2)は、楕円軌道を描いて地球を周回する人工衛星となり、(2)のように第２宇宙速度に等しくなる(v=V2)と、ロケットは放物線軌道を描いて地球を離脱し太陽系の惑星、言い換えれば人工惑星になります。そして、更に速度が大きくなる(V2＜v＞V3)と双曲線軌道を描いて太陽系の惑星となります。そして、第３宇宙速度(V3)以上になると太陽の引力から離脱して遥か彼方の宇宙へ飛行することになります。この関係は下図で表わされます。
この図から判るように、二体問題として解くことの出来る運動は、万有引力の法則とケプラーの法則に従い、その軌道は全て円錐曲線で表わすことが出来ます。直円錐を底面に平行に切断した断面が円、底面より上の母線で交わるように斜めに切断した断面が楕円、母線に交わらないように斜めに切断した断面が放物線、底面と垂直に切断した断面が双曲線となります。
ここで、放物線と双曲線は母線と交わりませんので、ロケットは無限遠の彼方から太陽に近づいて再び無限遠の彼方に去って二度と戻って来ないことになります。ただ、幾何学には放物線は無限遠の彼方で交わることになっておりますが現実的には交わりません。双曲線は絶対的に交わりませんので、この点で放物線と双曲線は異なります。ここで、第３宇宙速度(V3)は、地球公転軌道からの脱出速度が12.3km/sであることから、V3=√(V2+12.3)=16.7km/sと算出されます。以上を纏めると次のようになります。
ロケットを人工衛星で宇宙空間まで上げてから、地球表面に対して接線方向に初速度ｖでロケットを慣性飛行させた場合、ロケットは、初速度ｖによって次のような軌道を描いて、人工衛星、人工惑星、人工恒星となります。
・v＜V1(=7.9km/s) 地上に落下(地球引力を下回り)
・v=V1 真円軌道で人工衛星に(地球引力と等しく釣り合う)
・V1＜v＞V2(=11.2km/s) 楕円軌道で人工衛星に(地球引力と釣り合う)
・v=V2 放物線軌道で人工惑星に(ここから地球の引力圏離脱)
・V2＜v＞V3(=16.7km/s) 双曲線軌道で人工惑星に
・v≧31 独自軌道で太陽系離脱して人工恒星に
